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专题14 坐标系与参数方程-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)含解析

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专题14 坐标系与参数方程

1.【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为(t为参数),则点(1,0)到直线l的距离是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题意,可将直线化为普通方程:,即,即,所以点(1,0)到直线的距离,故选D.

【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识、基本运算能力的考查.

2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)求C上的点到l距离的最小值.

【答案】(1)的直角坐标方程为;(2)

【解析】(1)因为,且,所以C的直角坐标方程为

的直角坐标方程为

(2)由(1)可设C的参数方程为为参数,).

C上的点到的距离为

时,取得最小值7,故C上的点到距离的最小值为

【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.

3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中,O为极点,点在曲线上,直线l过点且与垂直,垂足为P.

(1)当时,求及l的极坐标方程;

(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.

【答案】(1),l的极坐标方程为

(2)

【解析】(1)因为在C上,当时,

由已知得

为l上除P的任意一点.在中,

经检验,点在曲线上.

所以,l的极坐标方程为

(2)设,在中,

因为P在线段OM上,且,故的取值范围是

所以,P点轨迹的极坐标方程为

【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.

4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图,在极坐标系Ox中,,弧所在圆的圆心分别是,曲线是弧,曲线是弧,曲线是弧

(1)分别写出的极坐标方程;

(2)曲线构成,若点在M上,且,求P的极坐标.

【答案】(1)的极坐标方程为的极坐标方程为的极坐标方程为

(2)

【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为

所以的极坐标方程为的极坐标方程为的极坐标方程为

(2)设,由题设及(1)知

,则,解得

,则,解得

,则,解得

综上,P的极坐标为

【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题.

5.【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点,直线l的方程为

(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.

【答案】(1);(2)2.

【解析】(1)设极点为O.在△OAB中,A(3,),B(),

由余弦定理,得AB=

(2)因为直线l的方程为

则直线l过点,倾斜角为

,所以点B到直线l的距离为

【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.

6.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程;

(2)若直线的极坐标方程为,直线轴的交点为,与曲线相交于两点,求的值.

【答案】(1);(2)

【解析】(1)曲线的普通方程为:

曲线的普通方程为:,即

由两圆心的距离,所以两圆相交,

所以两方程相减可得交线为,即

所以直线的极坐标方程为

(2)直线的直角坐标方程:,则与轴的交点为

直线的参数方程为,带入曲线

两点的参数为

所以,所以同号.

所以

【名师点睛】本题考查了极坐标,参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度,是常见考题.

7.【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点M的极坐标为,直线l的极坐标方程为

(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;

(2)若N是曲线C上的动点,P为线段MN的中点,求点P到直线l的距离的最大值.

【答案】(1);(2)

【解析】(1)因为直线l的极坐标方程为

即ρsinθ-ρcosθ+4=0.由x=ρcosθ,y=ρsinθ,

可得直线l的直角坐标方程为x-y-4=0.

将曲线C的参数方程,消去参数a,

得曲线C的普通方程为

(2)设N(,sinα),α∈[0,2π).

点M的极坐标(),化为直角坐标为(-2,2).

所以点P到直线l的距离

所以当时,点M到直线l的距离的最大值为

【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化,考查三角函数的图像和性质,考查点到直线的距离的最值的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

8.【河南省周口市2018–2019学年度高三年级(上)期末调研考试数学】在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;

(2)若直线与曲线交于两点,且设定点,求的值.

【答案】(1)普通方程为,C直角坐标方程为;(2)

【解析】(1)由直线的参数方程消去,得普通方程为

等价于

代入上式,得曲线的直角坐标方程为

(2)点在直线上,所以直线的参数方程可以写为为参数),

将上式代入,得

对应的参数分别为,则

所以

【名师点睛】本题考查了直线的参数方程,考查了简单曲线的极坐标方程,解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义.

9.【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴已知点P的直角坐标为,点M的极坐标为若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以M为圆心、4为半径.

(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;

(2)试判定直线l和圆C的位置关系.

【答案】(1)为参数),;(2)直线与圆相离.

【解析】(1)直线的参数方程为参数),

M点的直角坐标为(0,4),圆C的半径为4,

∴圆C的方程为,将代入,

得圆C的极坐标方程为,即

(2)直线的普通方程为

圆心M到的距离为

∴直线与圆C相离.

【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化,以及运用,属于基础题.

10.【全国I卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆的极坐标方程为,其左焦点在直线上.

(1)若直线与椭圆交于两点,求的值;

(2)求椭圆的内接矩形面积的最大值.

【答案】(1);(2)

【解析】(1)将代入ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,

得x2+3y2=48,即

因为c2=48-16=32,所以F的坐标为(,0),

又因为F在直线l上,所以

把直线l的参数方程代入x2+3y2=48,

化简得t2-4t-8=0,所以t1+t2=4,t1t2=-8,

所以

(2)由椭圆C的方程,可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(,4sinθ)(),

所以内接矩形的面积

时,面积S取得最大值

【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式,而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式,后者也可以把极坐标方程变形,尽量产生以便转化.另一方面,当动点在圆锥曲线运动变化时,我们可以用一个参数来表示动点坐标,从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.

11.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数,),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为

(1)当时,写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;

(2)已知点,设直线l与曲线C交于A,B两点,试确定的取值范围.

【答案】(1);(2)

【解析】(1)当时,直线的参数方程为

消去参数t得

由曲线C的极坐标方程为,得

,及代入得,即

(2)由直线的参数方程为为参数,),

可知直线是过点P(–1,1)且倾斜角为的直线,

又由(1)知曲线C为椭圆,所以易知点P(–1,1)在椭圆C内,

代入中,整理得

设A,B两点对应的参数分别为

所以

因为,所以

所以

所以的取值范围为

【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题.经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为,则以下结论在解题中经常用到:(1);(2);(3);(4)

12.【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为为参数).直线与曲线分别交于两点.

(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;

(2)若点的极坐标为,求的值.

【答案】(1)曲线的直角坐标方程为:,直线的普通方程为

(2)

【解析】(1)由,得

所以曲线的直角坐标方程为

,直线的普通方程为

(2)将直线的参数方程代入并化简、整理,

.因为直线与曲线交于两点.

所以,解得

由根与系数的关系,得

因为点的直角坐标为,在直线上.所以

解得,此时满足.且,故

【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.

13.【河南省豫南九校(中原名校)2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为,直线与曲线C交于A、B两点,点

(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)求的值.

【答案】(1);(2)

【解析】(1)直线l的参数方程为(t为参数),

消去参数,可得直线l的普通方程

曲线C的极坐标方程为,即

曲线C的直角坐标方程为

(2)直线的参数方程改写为(t为参数),

代入

【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式,利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化.

14.【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系中,直线的参数方程是(t为参数),曲线的参数方程是为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线和曲线的极坐标方程;

(2)已知射线(其中)与曲线交于两点,射线与直线交于点,若的面积为1,求的值和弦长

【答案】(1);(2)

【解析】(1)直线的普通方程为,极坐标方程为

曲线的普通方程为,极坐标方程为

(2)依题意,∵,∴

,∴

【名师点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.

15.【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系中,曲线的参数标方程为(其中为参数),在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,直线的极坐标方程为

(1)求曲线的极坐标方程;

(2)求直线与曲线的公共点的极坐标.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)消去参数,得曲线的直角坐标方程

代入,得

所以曲线的极坐标方程为

(2)将的极坐标方程联立,消去

展开得

因为,所以

于是方程的解为,即

代入可得,所以点的极坐标为

【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化,直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题,考查计算能力.

16.【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟(最后一卷)数学】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线的参数方程为为参数),曲线的极坐标方程为

(1)求曲线的直角坐标方程,并指出该曲线是什么曲线;

(2)若直线与曲线的交点分别为,求

【答案】(1)曲线方程为,表示焦点坐标为,对称轴为轴的抛物线;(2)10.

【解析】(1)因为,所以,即

所以曲线表示焦点坐标为,对称轴为轴的抛物线.

(2)设点,点

直线过抛物线的焦点,则直线参数方程为化为一般方程为,代入曲线的直角坐标方程,得

所以

所以

【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程,直线的参数方程化一般方程,弦长公式等,属于简单题.

17.【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试(二)数学】在平面直角坐标系中,曲线的方程为,直线的参数方程为参数),若将曲线上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得曲线

(1)写出曲线的参数方程;

(2)设点,直线与曲线的两个交点分别为,求的值.

【答案】(1)为参数);(2)

【解析】(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的

则曲线的直角坐标方程为,整理得

∴曲线的参数方程为参数).

(2)将直线的参数方程化为标准形式为为参数),

将参数方程带入

整理得

【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化,及直线的参数方程的应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.

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