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《数字信号处理》第三版课后习题答案

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《数字信号处理》第三版课后习题答案

第一章习题解答

1. 用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。

解:

2. 给定信号:

(1)画出序列的波形,标上各序列的值;

(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列;

(3)令,试画出波形;

(4)令,试画出波形;

(5)令,试画出波形。

解:

(1)x(n)的波形如题2解图(一)所示。

(2)

(3)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(二)所示。

(4)的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(三)所示。

(5)画时,先画x(-n)的波形,然后再右移2位,波形如题2解图(四)所示。

3. 判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期。

(1),A是常数;

(2)

解:

(1),这是有理数,因此是周期序列,周期是T=14;

(2),这是无理数,因此是非周期序列。

5. 设系统分别用下面的差分方程描述,分别表示系统输入和输出,判断系统是否是线性非时变的。

(1)

(3)为整常数;

(5)

(7)

解:

(1)令:输入为,输出为

故该系统是时不变系统。

故该系统是线性系统。

(3)这是一个延时器,延时器是一个线性时不变系统,下面予以证明。

令输入为,输出为,因为

故延时器是一个时不变系统。又因为

故延时器是线性系统。

(5)

令:输入为,输出为,因为

故系统是时不变系统。又因为

因此系统是非线性系统。

(7)

令:输入为,输出为,因为

故该系统是时变系统。又因为

故系统是线性系统。

6. 给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。

(1)

(3)

(5)

解:

(1)只要,该系统就是因果系统,因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果,则,因此系统是稳定系统。

(3)如果,因此系统是稳定的。系统是非因果的,因为输出还和x(n)的将来值有关.

(5)系统是因果系统,因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果,则,因此系统是稳定的。

7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示,要求画出输出输出的波形。

解:

解法(1):采用图解法

图解法的过程如题7解图所示。

解法(2):采用解析法。按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:

因为

所以

将x(n)的表达式代入上式,得到

8. 设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况,分别求出输出

(1)

(2)

(3)

解:

(1)

先确定求和域,由确定对于m的非零区间如下:

根据非零区间,将n分成四种情况求解:

最后结果为

y(n)的波形如题8解图(一)所示。

(2)

y(n)的波形如题8解图(二)所示.

(3)

y(n)对于m的非零区间为

最后写成统一表达式:

11. 设系统由下面差分方程描述:

设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。

解:

令:

归纳起来,结果为

12. 有一连续信号式中,

(1)求出的周期。

(2)用采样间隔进行采样,试写出采样信号的表达式。

(3)画出对应的时域离散信号(序列)的波形,并求出的周期。

第二章习题解答

1. 设分别是的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变换:

(1)

(2)

(3)

(4)

解:

(1)

,则

(2)

(3)

,则

(4)

证明:

令k=n-m,则

2. 已知

的傅里叶反变换

解:

3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)如果单位脉冲响应为实序列,试证明输入的稳态响应为

解:

假设输入信号,系统单位脉冲相应为h(n),系统输出为

上式说明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。

上式中是w的偶函数,相位函数是w的奇函数,

4. 设以4为周期进行周期延拓,形成周期序列,画出的波形,求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。

解:

画出x(n)和的波形如题4解图所示。

,

以4为周期,或者

,

以4为周期

5. 设如图所示的序列的FT用表示,不直接求出,完成下列运算:

(1)

(2)

(5)

解:

(1)

(2)

(5)

6. 试求如下序列的傅里叶变换:

(2)

(3)

解:

(2)

(3)

7. 设:

(1)是实偶函数,

(2)是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下,的傅里叶变换性质。

解:

(1)x(n)是实、偶函数,

两边取共轭,得到

因此

上式说明x(n)是实序列,具有共轭对称性质。

由于x(n)是偶函数,x(n)sinwn是奇函数,那么

因此

该式说明是实函数,且是w的偶函数。

总结以上x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换是实、偶函数。

(2)x(n)是实、奇函数。

上面已推出,由于x(n)是实序列,具有共轭对称性质,即

由于x(n)是奇函数,上式中是奇函数,那么

因此

这说明是纯虚数,且是w的奇函数。

10. 若序列是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:

求序列及其傅里叶变换

解:

12. 设系统的单位取样响应,输入序列为,完成下面各题:

(1)求出系统输出序列

(2)分别求出的傅里叶变换。

解:

(1)

(2)

13. 已知,式中,以采样频率进行采样,得到采样信号和时域离散信号,试完成下面各题:

(1)写出的傅里叶变换表示式

(2)写出的表达式;

(3)分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。

解:

(1)

上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数函数,它的傅里叶变换可以

表示成:

(2)

(3)

式中

式中

上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。

14. 求以下序列的Z变换及收敛域:

(2)

(3)

(6)

解:

(2)

(3)

(6)

16. 已知:

求出对应的各种可能的序列的表达式。

解:

有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况:

三种收敛域对应三种不同的原序列。

(1)当收敛域时,

,因为c内无极点,x(n)=0;

,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点,改为求圆外极点留数,圆外极点有,那么

(2)当收敛域时,

,C内有极点0.5;

,C内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,c外极点只有一个,即2,

最后得到

(3)当收敛域时,

,C内有极点0.5,2;

n<0,由收敛域判断,这是一个因果序列,因此x(n)=0。

或者这样分析,C内有极点0.5,2,0,但0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,c外无极点,所以x(n)=0。

最后得到

17. 已知,分别求:

(1)的Z变换;

(2)的Z变换;

(3)的z变换。

解:

(1)

(2)

(3)

18. 已知,分别求:

(1)收敛域对应的原序列

(2)收敛域对应的原序列

解:

(1)当收敛域时,内有极点0.5,

,

c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,

,

最后得到

(2(当收敛域时,

c内有极点0.5,2,

c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,因此, 最后得到

25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

试:

(1)用卷积法求网络输出

(2)用ZT法求网络输出

解:

(1)用卷积法求

,

最后得到

(2)用ZT法求

,c内有极点

因为系统是因果系统,,,最后得到

28. 若序列是因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:

求序列及其傅里叶变换

解:

求上式IZT,得到序列的共轭对称序列

因为是因果序列,必定是双边序列,收敛域取:

时,c内有极点,

n=0时,c内有极点,0,

所以

又因为

所以

第三章习题解答

1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为

(2)

(4)

(6)

(8)

(10)

解:

(2)

(4)

(6)

(8)解法1 直接计算

解法2 由DFT的共轭对称性求解

因为

所以

结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。

(10)解法1

上式直接计算较难,可根据循环移位性质来求解X(k)。

因为

所以

等式两边进行DFT得到

时,可直接计算得出X(0)

这样,X(k)可写成如下形式:

解法2

时,

时,

所以,

2. 已知下列,求

(1);

(2)

解:

(1)

=

(2)

3. 长度为N=10的两个有限长序列

作图表示

解:

分别如题3解图(a)、(b)、(c)所示。

14. 两个有限长序列的零值区间为:

对每个序列作20点DFT,即

如果

试问在哪些点上,为什么?

解:

如前所示,记,而

长度为27,长度为20。已推出二者的关系为

只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上,才满足所以

15. 用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率,信号最高频率为1kHZ,试确定以下各参数:

(1)最小记录时间

(2)最大取样间隔

(3)最少采样点数

(4)在频带宽度不变的情况下,将频率分辨率提高一倍的N值。

解:

(1)已知

(2)

(3)

(4)频带宽度不变就意味着采样间隔T不变,应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)

18. 我们希望利用长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理,要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法,就是对输入序列进行分段(本题设每段长度为M=100个采样点),但相邻两段必须重叠V个点,然后计算各段与的L点(本题取L=128)循环卷积,得到输出序列,m表示第m段计算输出。最后,从中取出B个,使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出

(1)求V;

(2)求B;

(3)确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。

解:

为了便于叙述,规定循环卷积的输出序列的序列标号为0,1,2,…,127。

先以与各段输入的线性卷积考虑,中,第0点到48点(共49个点)不正确,不能作为滤波输出,第49点到第99点(共51个点)为正确的滤波输出序列的一段,即B=51。所以,为了去除前面49个不正确点,取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的,必须重叠100-51=49个点,即V=49。

下面说明,对128点的循环卷积,上述结果也是正确的。我们知道

因为长度为

N+M-1=50+100-1=149

所以从n=20到127区域,,当然,第49点到第99点二者亦相等,所以,所取出的第51点为从第49到99点的

综上所述,总结所得结论

V=49,B=51

选取中第49~99点作为滤波输出。

第五章习题解答

1. 设系统用下面的差分方程描述:

试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。

解:

将上式进行Z变换

(1)按照系统函数,根据Masson公式,画出直接型结构如题1解图(一)所示。

(2)将的分母进行因式分解

按照上式可以有两种级联型结构:

(a)

画出级联型结构如题1解图(二)(a)所示

(b)

画出级联型结构如题1解图(二)(b)所示

(3)将进行部分分式展开

根据上式画出并联型结构如题1解图(三)所示。

2. 设数字滤波器的差分方程为

试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。

解:

将差分方程进行Z变换,得到

(1)按照Massion公式直接画出直接型结构如题2解图(一)所示。

(2)将的分子和分母进行因式分解:

按照上式可以有两种级联型结构:

(a)

画出级联型结构如题2解图(二)(a)所示。

(b)

画出级联型结构如题2解图(二)(b)所示●。

3. 设系统的系统函数为

试画出各种可能的级联型结构。

解:

由于系统函数的分子和分母各有两个因式,可以有两种级联型结构。

(1)

画出级联型结构如题3解图(a)所示●。

(2) ,

画出级联型结构如题3解图(b)所示。

4.图中画出了四个系统,试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应,并求其总系统函数。图d

解:

(d)

5. 写出图中流图的系统函数及差分方程。图d

解:

(d)

6. 写出图中流图的系统函数。图f

解:

(f)

8.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为,试用频率采样结构实现该滤波器。设采样点数N=5,要求画出频率采样网络结构,写出滤波器参数的计算公式。

解:

已知频率采样结构的公式为

式中,N=5

它的频率采样结构如题8解图所示。

第六章习题解答

1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器,要求通带截止频率,通带最大衰减,阻带截止频率,阻带最小衰减。求出滤波器归一化传输函数以及实际的

解:

(1)求阶数N。

值代入N的计算公式得

所以取N=5(实际应用中,根据具体要求,也可能取N=4,指标稍微差一点,但阶数低一阶,使系统实现电路得到简化。)

(2)求归一化系统函数,由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数

当然,也可以按(6.12)式计算出极点:

按(6.11)式写出表达式

代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

(3)去归一化(即LP-LP频率变换),由归一化系统函数得到实际滤波器系统函数

由于本题中,即,因此

对分母因式形式,则有

如上结果中,的值未代入相乘,这样使读者能清楚地看到去归一化后,3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。

2. 设计一个切比雪夫低通滤波器,要求通带截止频率,通带最在衰减速,阻带截止频率,阻带最小衰减。求出归一化传输函数和实际的

解:

(1)确定滤波器技术指标:

(2)求阶数N和

为了满足指标要求,取N=4。

(2)求归一化系统函数

其中,极点由(6.2.38)式求出如下:

(3)将去归一化,求得实际滤波器系统函数

其中,因为,所以。将两对共轭极点对应的因子相乘,得到分母为二阶因子的形式,其系数全为实数。

4. 已知模拟滤波器的传输函数为:

(1)

(2)。式中,a,b为常数,设因果稳定,试采用脉冲响应不变法,分别将其转换成数字滤波器

解:

该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以,求解该题具有代表性,解该题的过程,就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不变法转换公式,设采样周期为T。

(1)

的极点为:

部分分式展开(用待定系数法):

比较分子各项系数可知:

A、B应满足方程:

解之得

所以

按照题目要求,上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中,一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称,所以将的两项通分并化简整理,可得

用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时,直接套用上面的公式即可,且对应结构图中无复数乘法器,便于工程实际中实现。

(2)

的极点为:

部分分式展开:

通分并化简整理得

5. 已知模拟滤波器的传输函数为:

(1)

(2)试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为数字滤波器,设T=2s。

解:

(1)用脉冲响应不变法

方法1 直接按脉冲响应不变法设计公式,的极点为:

代入T=2s

方法2 直接套用4题(2)所得公式,为了套用公式,先对的分母配方,将化成4题中的标准形式:

为一常数,

由于

所以

对比可知,,套用公式得

或通分合并两项得

(2)用双线性变换法

7. 假设某模拟滤波器是一个低通滤波器,又知,数字滤波器的通带中心位于下面的哪种情况?并说明原因。

(1)(低通);

(2)(高通);

(3)除0或外的某一频率(带通)。

解:

按题意可写出

原模拟低通滤波器以为通带中心,由上式可知,时,对应于,故答案为(2)。

9. 设计低通数字滤波器,要求通带内频率低于时,容许幅度误差在1dB之内;频率在0.3之间的阻带衰减大于10dB;试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计,用脉冲响应不变法进行转换,采样间隔T=1ms。

解:

本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计,所以,由巴特沃斯滤波器的单调下降特性,数字滤波器指标描述如下:

采用脉冲响应不变法转换,所以,相应模拟低通巴特沃斯滤波器指标为:

(1)求滤波器阶数N及归一化系统函数

取N=5,查表6.1的模拟滤波器系统函数的归一化低通原型为:

部分分式展开:

其中,系数为:

(2)去归一化求得相应的模拟滤波器系统函数

我们希望阻带指标刚好,让通带指标留有富裕量,所以按(6.2.18)式求3dB截止频率

其中

(3)用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器系统函数

我们知道,脉冲响应不变法的主要缺点是存在频率混叠失真,设计的滤波器阻带指标变差。另外,由该题的设计过程可见,当N较大时,部分分式展开求解系数相当困难,所以实际工作中用得很少,主要采用双线性变换法设计。

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