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专题08 数列-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)含解析

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专题08 数列

1.【2019年高考全国III卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则

A.16 B.8

C.4 D.2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{an}的公比为,则

解得,故选C.

【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键.

2.【2019年高考浙江卷】设a,b∈R,数列{an}满足a1=a,an+1=an2+b,,则

A. 当 B. 当

C. 当 D. 当

【答案】A

【解析】①当b=0时,取a=0,则.

②当时,令,即.

则该方程,即必存在,使得

则一定存在,使得对任意成立,

解方程,得

时,即时,总存在,使得

故C、D两项均不正确.

③当时,

.

(ⅰ)当时,

故A项正确.

(ⅱ)当时,令,则

所以,以此类推,

所以

故B项不正确.

故本题正确答案为A.

【名师点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步讨论的可能取值,利用“排除法”求解.

3.【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S4=___________.

【答案】

【解析】设等比数列的公比为,由已知,即.

解得

所以

【名师点睛】准确计算,是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算,部分考生易出现运算错误.

一题多解:本题在求得数列的公比后,可利用已知计算,避免繁分式计算.

4.【2019年高考全国III卷文数】记为等差数列的前项和,若,则___________.

【答案】100

【解析】设等差数列的公差为d,根据题意可得

【名师点睛】本题考点为等差数列的求和,为基础题目,利用基本量思想解题即可,充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.

5.【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列,是其前n项和.若,则的值是__________.

【答案】16

【解析】由题意可得:

解得:,则.

【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建的方程组.

6.【2019年高考全国I卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.

(I)若a3=4,求{an}的通项公式;

(II)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.

【答案】(I);(II).

【解析】(I)设的公差为d.

由a3=4得

于是

因此的通项公式为

(II)由(I)得,故.

,故等价于,解得1≤n≤10.

所以n的取值范围是

【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有等差数列的通项公式,等差数列的求和公式,在解题的过程中,需要认真分析题意,熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

7.【2019年高考全国II卷文数】已知是各项均为正数的等比数列,.

(I)求的通项公式;

(II)设,求数列的前n项和.

【答案】(I);(II).

【解析】(I)设的公比为q,由题设得

,即

解得(舍去)或q=4.

因此的通项公式为

(II)由(I)得,因此数列的前n项和为

【名师点睛】本题考查数列的相关性质,主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法,考查等差数列求和公式的使用,考查化归与转化思想,考查计算能力,是简单题.

8.【2019年高考北京卷文数】设{an}是等差数列,a1=–10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当或者时,取到最小值.

【解析】(Ⅰ)设的公差为

因为

所以

因为成等比数列,

所以

所以

解得

所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

所以,当时,;当时,

所以,的最小值为

【名师点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.

9.【2019年高考天津卷文数】设是等差数列,是等比数列,公比大于0,已知.

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)设数列满足.

【答案】(I);(II)

【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.依题意,得解得.

所以,的通项公式为的通项公式为.

(Ⅱ)

.

②?①得,.

所以,

.

【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识,考查数列求和的基本方法和运算求解能力,属于中档题目.

10.【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.

(I)已知等比数列{an}满足:,求证:数列{an}为“M-数列”;

(II)已知数列{bn}满足: ,其中Sn为数列{bn}的前n项和.

①求数列{bn}的通项公式;

②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn},对任意正整数k,当k≤m时,都有成立,求m的最大值.

【答案】(I)见解析;(II)①bn=n;②5.

【解析】解:(1)设等比数列{an}的公比为q,所以a1≠0,q≠0.

,得,解得

因此数列为“M—数列”.

(2)①因为,所以

,得,则.

,得

时,由,得

整理得

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.

因此,数列{bn}的通项公式为bn=n.

②由①知,bk=k,.

因为数列{cn}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0.

因为ck≤bk≤ck+1,所以,其中k=1,2,3,…,m.

当k=1时,有q≥1;

当k=2,3,…,m时,有

设f(x)=,则

,得x=e.列表如下:

x

e

(e,+∞)

+

0

f(x)

极大值

因为,所以

,当k=1,2,3,4,5时,,即

经检验知也成立.

因此所求m的最大值不小于5.

若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,

所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.

综上,所求m的最大值为5.

【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.

11.【2019年高考浙江卷】设等差数列的前n项和为,数列满足:对每个成等比数列.

(I)求数列的通项公式;

(II)记证明:

【答案】(I);(II)证明见解析.

【解析】(I)设数列的公差为d,由题意得

解得

从而

所以

成等比数列得

解得

所以

(II)

我们用数学归纳法证明.

(i)当n=1时,c1=0<2,不等式成立;

(ii)假设时不等式成立,即

那么,当时,

即当时不等式也成立.

根据(i)和(ii),不等式对任意成立.

【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.

12.【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中,是方程的两根,则数列的前11项和等于

A.66 B.132

C. 66 D. 32

【答案】D

【解析】因为是方程的两根,

所以

,所以

,故选D.

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质,等差中项,数列的求和公式,属于中档题.

13.【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在上的函数满足:当时,;当时,.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为的值为

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由题意当时,极大值点为1,极大值为1,

时,.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列,极大值形成首项为1公比为3 的等比数列,

. ,故

设S=

3S=

两式相减得-2S=1+2()-

∴S=

故选:A.

【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题.

14.【福建省2019届高三毕业班质量检查测试数学试题】数列中,,且,则数列前2019项和为

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】:∵

整理得:

,又

可得:

则数列前2019项和为:

故选:B.

【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和,考查了推理能力、转化能力与计算能力,属于中档题.

15.【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁“哀”得, , ,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为

A.  B. 

C.  D. 

【答案】A

【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石,

由题意得,

解得, ,

故选A.

【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.

16.【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列的前n项和为,已知,且,记,则数列的前10项和为______.

【答案】200

【解析】∵,且

时,

两式相减可得,,(

时,

∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列,公比均为2,

则数列,则的前10项和为

.

故答案为200.

【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用,考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用,属于中档题.

17.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学试题】在数列中,,则的值为______.

【答案】1

【解析】因为

所以

,

,

各式相加,可得

所以,,故答案为1.

【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项,属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为:(1)项的序号较小时,逐步递推求出即可;(2)项的序数较大时,考虑证明数列是等差、等比数列,或者是周期数列;(3)将递推关系变形,利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.

18.【2019北京市通州区三模数学试题】设是等比数列,且,则的通项公式为_______.

【答案】.

【解析】设等比数列的公比为

因为

所以,解得,所以

因此,.

故答案为.

【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算,熟记等比数列的通项公式即可,属于常考题型.

19.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为.若

(I)求数列的通项公式;

(II)求数列的前项和.

【答案】(I);(II).

【解析】(I)由

设等差数列的公差为,则,所以.

所以.

设等比数列的公比为,由题,即,所以.

所以

(II)

所以的前项和为

.

【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列,熟记通项公式、前项和公式即可,属于常考题型.

20.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列的公差是1,且成等比数列.

(I)求数列的通项公式;

(II)求数列的前项和

【答案】(I);(II).

【解析】(I)因为是公差为1的等差数列,且成等比数列,

所以,即,解得.

所以.

(II)

两式相减得

所以.

所以.

【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法,考查了推理能力与计算能力,属于常考题型.

21.【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足,且的等比中项.

(I)求数列的通项公式;

(II)设,数列的前项和为,求使成立的最大正整数的值

【答案】(I).(II)8.

【解析】(I)设等差数列的公差为

,即

的等比中项,

,即,解得.

数列的通项公式为.

(II)由(I)得.

,得.

使得成立的最大正整数的值为.

【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和,考查基本分析求解能力,属中档题.

22.【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列满足:,数列中,,且成等比数列.

(I)求证:数列是等差数列;

(II)若是数列的前项和,求数列的前项和.

【答案】(I)见解析;(II).

【解析】(I)

∴数列是公差为1的等差数列;

(II)由题意可得,即

所以,所以

,∴

.

【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明,考查等差数列的前n项和的求法,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

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